NUMERI E CALCOLO
DISTURBI DEL SISTEMA DEI CALCOLI E DEI NUMERI:
CORRELATI ANATOMO CLINICI
Secondo alcuni autori l’agrafia e l’alessia per i numeri sono prevalentemente associate a lesioni dell’emisfero sinistro, sia prerolandiche che postrolandiche. Invece la discalculia spaziale è associata più a lesioni dell’emisfero destro.
Secondo altri autori i deficit osservabili in seguito a lesioni frontali, sono dovuti alla difficoltà di utilizzare numeri astratti e ai deficit di iniziativa e di pensiero produttivo tipico di tali pazienti.
Le lesioni temporali invece porterebbero a difficoltà di comprensione delle parole-numero presentate per via uditiva.
Le lesioni occipitali possono ripercuotersi sulla formazione del percetto visivo numerico.
Infine le lesioni parietali possono ripercuotersi sul sistema del calcolo e dei numeri in vario modo.
Tuttavia altri studi hanno dato risultati contrastanti.
Certamente il limite principale di tutti questi studi consiste nel fatto di non disporre di un modello teorico di funzionamento del sistema dei calcoli e dei numeri, sufficientemente articolato da rendere possibile la classificazione dei pazienti studiati, sulla base di specifiche lesioni funzionali, in modo da poter individuare eventualmente i relativi substrati neuronali.
Un modello come quello proposto da Caramazza e McCloskey ad esempio, permette di identificare la lesione funzionale in modo più preciso ed è quindi utilizzabile in questo tipo di studi.
DEFINIZIONE DI CALCOLO
Secondo McCarty il calcolo è un processo mentale complesso costituito da più componenti. Innanzitutto è necessario comprendere gli elementi da utilizzare per le operazioni di calcolo e cioè i numeri e i segni aritmetici.
A tal proposito, nei compiti di lettura ad alta voce, è stata dimostrata una dissociazione tra numeri arabi e numeri-parola, e cioè alcuni pazienti riescono a leggere i numeri arabi e non i numeri parola e viceversa.
La seconda componente è quella del processo calcolo. La terza della produzione della risposta.
DISSOCIAZIONE TRA LETTURA DI NUMERI ARABI E NUMERI-PAROLA
È noto che i numeri possono essere espressi sia in codice alfabetico, ad esempio con la parola scritta “cinque”, che in codice idiografico come nel caso del codice numerico arabico.
In quest'ultimo caso i numeri sono degli ideogrammi che non possiedono alcuna informazione riguardante la loro pronuncia. Al contrario, i numeri espressi in codice verbale in italiano, sono parole fonologicamente trasparenti.
L'esistenza di una doppia dissociazione tra la capacità di lettura di materiale alfabetico e di numeri in codice arabico, è dimostrata dall'osservazione che spesso i pazienti dislessici per il materiale alfabetico, sono in grado di leggere e comprendere i numeri.
Inoltre, anche se più raramente, sono stati osservati casi di dislessie specifiche per i numeri espressi in codice arabico.
Ciò fa supporre l'esistenza di due procedure di lettura funzionalmente distinte.
Inoltre alcuni pazienti presentano una compromissione selettiva nell'incapacità di leggere segni aritmetici come +, -, : .
COMPRENSIONE e PRODUZIONE DEI NUMERI
In generale, dall'osservazione degli errori commessi dai pazienti cerebrolesi, è emerso che i meccanismi di comprensione e produzione dei numeri presentano le seguenti caratteristiche:
– Sono indipendenti tra loro.
– Possiedono processi di elaborazione nel formato arabo, verbale visivo e verbale uditivo, indipendenti tra loro.
– Possiedono meccanismi lessicali e sintattici anch'essi indipendenti tra loro.
– Sono indipendenti dal meccanismo del calcolo pur costituendo l'entrata e uscita di tale meccanismo.
INDIPENDENZA TRA MECCANISMI SINTATTICI E LESSICALI
Il termine “sintassi”, applicato ai numeri, si riferisce a quell’insieme di regole convenzionali che regolano i rapporti tra i numeri che costituiscono una stringa numerica.
Per quanto riguarda i numeri arabi ad esempio, è il caso della regola in base alla quale i numeri si devono scrivere da sinistra a destra e quella in base alla quale il simbolo zero assume la condizione di zero solo quando di fronte a sé non vi è un altro numero.
Tale dissociazione è emersa dall'analisi degli errori prodotti da alcuni pazienti in compiti di scrittura di numeri sotto dettato: uno di questi pazienti ad esempio, scriveva il numero arabo 355 in risposta alla parola-numero udita trecentocinquantatre. In questo caso la sintassi della stringa è corretta, mentre il lessico no.
Un altro paziente scriveva il numero arabo 50027 in risposta alla parola-numero cinquecentoventisette, dimostrando un lessico integro ma una struttura sintattica compromessa.
L’indipendenza dei due meccanismi è inoltre dimostrata dal paziente JS studiato da McCloskey, il quale mostrava deficit a livello di sintassi e cioè nella codifica dei rapporti tra i numeri di una stringa: ad esempio denominava il numero 172850 con centosettantadue, ottocentocinquanta.
LESSICO DEI NUMERI: CLASSI (unità, decine, teens)
Dallo studio degli errori di lettura ad alta voce di numeri arabi commessi da pazienti cerebrolesi, è emerso che l’identificazione di un numero arabo scritto dipende da due codici di accesso indipendenti: la classe di appartenenza e la posizione occupata dal numero stimolo all’interno della classe.
Per quanto riguarda la denominazione di numeri arabi scritti, secondo McCloskey il sistema di produzione dei numeri, o lessico dei numeri, è suddivisibile in tre categorie distinte: quella delle unità, ossia i numeri da 1 a 9; quella dei teens, ossia i numeri da 10 a 19; e infine la classe delle decine, ossia i numeri da 20 a 90.
Ciò ad esempio è quanto è emerso dall’osservazione di un paziente che compiva errori di tipo lessicale, producendo un numero appartenente alla stessa classe del numero stimolo ma in posizione errata, come ad esempio la parola-numero cinquecentoquarantuno in risposta allo stimolo visivo arabo 571.
Un altro paziente invece produceva parole-numero di classe errata ma posizione corretta rispetto al numero arabo stimolo.
MODELLO DELLA PRODUZIONE DEI NUMERI
Secondo il modello computazionale della produzione dei numeri proposto da McCloskey, il processo di produzione si snoda attraverso alcune fasi.
Nella prima viene generata una struttura semantica astratta che specifica la quantità di base del numero da produrre e la potenza di 10 associata a ciascuna qualità.
Queste informazioni vengono utilizzate per la costruzione della struttura sintattica, che specifica l'ordine di grandezza e cioè che il numero da produrre contiene migliaia, centinaia, decine ed unità senza tuttavia specificare le rispettive quantità.
Ciò invece viene specificato nella fase successiva in cui a ciascun ordine di grandezza, presente nella struttura sintattica, viene assegnato uno specifico valore di una specifica classe del lessico dei numeri; da un lato la rappresentazione semantica attiva il numero primitivo corrispondente alle quantità, dall'altro la rappresentazione sintattica attiva la classe a cui appartiene il numero, unità, teens o decine.
Nel caso teens, e cioè dei numeri da 10 a 19, si avrà l'attivazione della classe dei teen da parte dell’unità-numero accanto all’uno e, contemporaneamente, l'attivazione della quantità o posizione da parte della sua rappresentazione semantica.
Esempio
Un esempio del modello della produzione dei numeri proposto da McCloskey è quello di un numero come 4527, la cui struttura sintattica è costituita da quattro numeri primitivi: partendo da sinistra il primo appartiene alla classe delle unità nell'ordine di grandezza delle migliaia; il secondo alla classe delle unità nell'ordine di grandezza delle centinaia; il terzo alla classe delle unità nell'ordine di grandezza delle decine.
Nel caso della prima posizione della struttura sintattica del numero 4527, essa era riempita con il numero “4” grazie all'attivazione contemporanea dell'elemento “4” da parte della rappresentazione semantica e quella della classe delle unità del lessico dei numeri da parte della rappresentazione sintattica.
Lo zero secondo McCloskey
Secondo il modello di McCloskey lo zero non è legato a nessuna rappresentazione semantica quando occupa una posizione interna o finale di un numero arabo, come ad esempio i numeri 501 e 6000. Mancando la rappresentazione semantica che specifichi il numero primitivo corrispondente alla quantità 0 da inserire nelle caselle della struttura sintattica, ciascuna delle quali corrisponde all'ordine di grandezza a cui è associato il numero zero, tali caselle restano vuote e cioè non vengono riempite con nessun elemento del lessico dei numeri, tanto più che lo zero, oltre a non avere una rappresentazione semantica, non fa parte di tale lessico.
Una prova a sostegno di tale ipotesi è il fatto che nella lettura di numeri arabi contenenti degli zeri, come ad esempio 5005, tali zeri non vengono nominati.
Lo zero tuttavia è specificato da una rappresentazione semantica solo quando esso denota la quantità assoluta nulla.
RAPPRESENTAZIONI SEMANTICHE DEI NUMERI
Secondo McCloskey tutti i compiti di transcodificazione come la ripetizione, la scrittura sotto dettato e la lettura ad alta voce, necessitano dell'attivazione di una rappresentazione numerica astratta.
In tale modello le rappresentazioni verbali dei numeri, sia uditive che visive, sono collegate con le rappresentazioni utilizzate per le risposte, non attraverso collegamenti diretti, ma solo attraverso tale rappresentazione numerica astratta. Sicché, ad esempio, la rappresentazione verbale o iconica del numero ascoltato o letto, attiva la corrispondente rappresentazione numerica astratta, che per quel numero è sempre la stessa, a prescindere che esso sia presentato nel formato di numero arabo o di parola-numero orale o scritta. La rappresentazione numerica astratta, a sua volta, attiva la rappresentazione orale o scritta a seconda delle richieste del compito.
In altre parole la rappresentazione semantica numerica attraverso la quale si verifica la transcodificazione dei numeri è unica e sopramodale.
A sostegno di tale ipotesi, sono alcuni studi che hanno dimostrato un'attivazione del sistema semantico anche in prove che non ne richiedono esplicitamente l'attivazione, come nell'effetto della distanza numerica. In tale prova i soggetti normali, nel giudicare quale di due numeri è quello più grande, mostrano tempi tanto più lunghi quanto più vicini sono i due numeri.
Contrariamente a quanto sostenuto da McCloskey, diversi autori sostengono che nei compiti di lettura ad alta voce, ripetizione di numeri e scrittura sotto dettato, sia possibile una transcodifica diretta e asemantica che va dal numero in ingresso al numero in uscita.
A sostegno di questa ipotesi sono alcune osservazioni su alcuni pazienti. Uno di loro ad esempio, pur essendo in grado di comprendere e riconoscere i numeri ed anche di produrli in tutte le modalità, presentava errori nella lettura ad alta voce dei numeri arabi.
FATTI ARITMETICI, REGOLE, PROCEDURE E CONOSCENZE CONCETTUALI DELL’ARITMETICA
FATTI ARITMETICI: DEFINIZIONE
Con il termine fatti aritmetici ci si riferisce a quel particolare repertorio di problemi elementari e relative soluzioni, che possono essere risolti attraverso l'accesso diretto alla soluzione già memorizzata, senza ricorrere ad alcuna procedura di calcolo.
È il caso ad esempio delle tabelline delle moltiplicazioni o la somma e la sottrazione di numeri ad una sola cifra, l'elevazione a potenza o la radice quadrata di specifici numeri, ecc..
Tale repertorio naturalmente varia da individuo a individuo in funzione della familiarità che egli possiede con la matematica.
FATTI ARITMETICI INDIPENDENTI DA PROCEDURE DI CALCOLO, NUMERI E SEGNI
Diverse osservazioni condotte su pazienti cerebrolesi sembrano sostenere l'ipotesi dell'indipendenza dei fatti aritmetici dalle altre componenti del sistema del calcolo, e cioè dalle procedure del calcolo e dal riconoscimento dei segni delle operazioni e dei numeri.
Un paziente ad esempio era in grado di comprendere sia i numeri che i segni di una semplice operazione di calcolo, ma produceva il 10% di errori sui fatti aritmetici, mentre le risposte corrette erano prodotte con estrema lentezza poiché il paziente, anziché accedere direttamente al fatto aritmetico, ci arrivava attraverso lunghe procedure di calcolo.
Un altro paziente invece era in grado di accedere al sistema dei fatti aritmetici, ma attivava il fatto errato: ad esempio nel caso del problema 3 per 5, produceva numeri scorretti che tuttavia appartenevano alla tabellina del tre o del cinque.
FATTI ARITMETICI INDIPENDENTI DA REGOLE ARITMENTICHE
È noto che mentre alcune operazioni semplici possono essere risolte utilizzando le conoscenze relative a fatti aritmetici, altre possono essere risolte attraverso l'accesso a conoscenze di regole aritmetiche.
È il caso della regola specificata dalla formula n per 0 = 0 o dalla formula n per 1 = 1. In questo caso, problemi quali ad esempio 5 per 0 o 7 per 1, non vengono risolti accedendo ad un fatto aritmetico, ma a regole che riguardano interi gruppi di problemi.
L'ipotesi in base alla quale i fatti aritmetici siano indipendenti dalle regole aritmetiche, sembra essere supportata dall'osservazione di alcuni pazienti cerebrolesi. Mentre infatti alcuni di loro dimostrano di essere in grado di accedere ai fatti aritmetici delle tabelline, ma non alle regole aritmetiche, per cui ad esempio non riescono a risolvere moltiplicazioni contenenti lo zero come 5 per 0, e riescono in tutte le altre tabelline, altri manifestano il fenomeno contrario.
Inoltre tale deficit non è mai parziale, per cui tali pazienti o sbagliano sempre o non sbagliano mai.
RAPPRESENTAZIONE DEI FATTI ARITMETICI
Circa il modo in cui i fatti aritmetici sono rappresentati nel sistema cognitivo, esistono due ipotesi, quella del formato singolo e quella del formato multiplo, entrambe derivanti da studi sui sistemi delle tabelline.
Riguardo all’ipotesi del formato singolo, ne esistono due varianti.
Secondo la prima i fatti aritmetici sono rappresentazioni fonologiche tali che il problema stimolo attiva la sua rappresentazione fonologica e quest'ultima la rappresentazione fonologica del fatto aritmetico. A sostegno di tale ipotesi è l'osservazione che i soggetti normali, nel risolvere tali problemi, continuano ad usare la lingua madre anche quando hanno appreso una seconda lingua.
In base alla seconda variante invece, che è quella di McCloskey, i fatti aritmetici corrispondono a rappresentazioni semantiche sopramodali, che possono essere attivate da qualsiasi formato dello stimolo e che possono dare origine a risposte in qualsiasi formato richiesto.
L'osservazione di alcuni pazienti cerebrolesi sembra favorire l'ipotesi dei fatti aritmetici intesi come rappresentazioni semantiche sopramodali piuttosto che come rappresentazioni fonologiche.
Un paziente ad esempio, era sottoposto ad una prova in cui doveva leggere ad alta voce delle addizioni scritte e poi scrivere il risultato.
Secondo l'ipotesi fonologica, ogni volta che il paziente legge male i termini del problema, dovrebbe anche dare una soluzione sia orale che scritta coerente con tale errore; per cui ad esempio se il paziente legge la scritta 2 + 5 “due più 4”, dovrebbe dare una soluzione scritta ed orale 7.
Secondo l'ipotesi della rappresentazione sopramodale invece la risposta scritta non dovrebbe essere influenzata dalla lettura erronea. Ciò in effetti è quanto si è osservato in tale paziente.
A sostegno di quest'ultima ipotesi è anche l'osservazione di un'altra paziente che commetteva la stessa quantità e tipologia di errori a prescindere dal modo in cui i problemi venivano presentati.
In base all’ipotesi del formato multiplo, ogni fatto aritmetico possiede rappresentazioni multiple nei vari formati, che vengono attivate in funzione del formato di presentazione del problema e che possono variare da individuo a individuo. E’ anche possibile che un problema presentato in un formato attivi altri formati.
A sostegno di tale ipotesi sono diverse osservazioni.
Ad esempio le prestazioni dei soggetti normali nella soluzione di problemi aritmetici presentati in diverse modalità sono simili ma non identiche.
Inoltre l’effetto priming, consistente ad esempio nel fatto che il risultato dell'operazione 6 per 8 = 48 venga riprodotto con maggiore probabilità in un'operazione successiva come 7 per 8, non si trasferisce da una modalità all'altra.
Infine alcuni pazienti, che inizialmente presentavano un deficit dei fatti aritmetici, sono stati sottoposti ad una rieducazione in modo tale che alcuni fatti fossero riappresi nella modalità di presentazione visiva con numeri arabi, altri con parole-numero ed altri ancora nella modalità uditiva. Da una parte, la rieducazione in ciascuna modalità si ripercuoteva positivamente anche in tutte le altre modalità. Dall’altra si sono osservati tempi di reazione più rapidi quando il problema veniva presentato nella modalità in cui era stato appreso.
DISSOCIAZIONE FRA I VARI TIPI DI OPERAZIONI
L'osservazione di alcuni pazienti cerebrolesi sembra confermare l'ipotesi in base alla quale le rappresentazioni relative alle varie operazioni del sistema dei fatti numerici, in particolar modo l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione, sono indipendenti tra loro.
Posto che, tra le varie operazioni, in particolar modo le moltiplicazioni e le divisioni, esistono relazioni più complesse, nella maggior parte dei pazienti cerebrolesi l'operazione dell'addizione è quella meno compromessa, e ciò non viene considerato come una prova a sostegno della dissociazione tra operazioni. Una tale prova invece deriva dall'osservazione di alcuni pazienti che presentano una compromissione delle operazioni più semplici mentre quelle più complesse sono risparmiate.
Una paziente ad esempio, presentava una minore compromissione delle sottrazioni rispetto alle addizioni e alle moltiplicazioni. Una simile dissociazione tra sottrazione e addizione è stata osservata anche in un’altra paziente.
RELAZIONI FRA OPERAZIONI COMPLEMENTARI
Riguardo alle relazioni tra operazioni complementari, come addizioni e sottrazioni o moltiplicazioni e divisioni, ci si chiede se ciascuna coppia si serva di nodi indipendenti o di nodi condivisi.
Le osservazioni non hanno condotto a conclusioni definitive.
Per quanto riguarda le addizioni e le sottrazioni, ad esempio, tali operazioni risultano spesso essere compromesse in modo diverso nello stesso paziente.
Invece dai pochi studi condotti sulle relazioni tra moltiplicazioni e divisioni è emerso che entrambe le operazioni mostrano un grado simile di compromissione.
RELAZIONI TRA PROBLEMI COMPLEMENTARI
Nel caso dei problemi complementari come ad esempio 8 per 7 e 7 per 8, ci si chiede se essi corrispondano ad una rappresentazione comune o a due rappresentazioni indipendenti.
I dati emersi sono contrastanti.
Alcuni pazienti ad esempio mostrano difficoltà simili in entrambi i problemi complementari, altri sono in grado di risolvere uno dei due ma non l'altro.
Nel caso dei problemi complementari con le operazioni con lo zero o con l'uno, del tipo n per 1 = 1 e 1 per n = 1, si ritiene che i problemi in cui l’uno è il moltiplicatore e quelli in cui esso è il moltiplicando, sono risolti attraverso due regole indipendenti; lo stesso vale con lo zero.
Ad esempio, un paziente commetteva il 100% degli errori su problemi del tipo 0 per n, mentre dopo la quarta prova riusciva a recuperare la regola per risolvere problemi del tipo n per 0, raggiungendo il 100% di risposte corrette.
PROCEDURE DI CALCOLO E FATTI ARITMETICI
Si ritiene che i fatti aritmetici e le procedure di calcolo siano rappresentati separatamente.
È stato osservato infatti che alcuni pazienti cerebrolesi, pur essendo in grado di codificare i numeri in tutte le modalità di presentazione ed in vari tipi compito come il dettato, la lettura e la ripetizione, commettevano errori nell'esecuzione di calcoli.
Nel caso di moltiplicazioni complesse come ad esempio 53 per 342, un paziente era in grado di svolgere le operazioni semplici intermedie ma non sapeva applicare le procedure della moltiplicazione stessa, per cui ad esempio i prodotti parziali erano allineati in modo errato e senza l'applicazione delle procedure corrette di riporto.
Un'altro paziente invece era in grado di applicare le procedure complesse di calcolo, ma presentava difficoltà nell'esecuzione delle operazioni semplici.
Si ritiene inoltre che le procedure di calcolo delle quattro operazioni siano rappresentate separatamente nel sistema delle procedure di calcolo. Ad esempio un paziente era in grado di eseguire sottrazioni e addizioni anche di elevata complessità ma non riusciva a risolvere moltiplicazioni e divisioni semplici.
DISSOCIAZIONE TRA REGOLE ARITMETICHE ASTRATTE E FATTI ARITMETICI
Diverse osservazioni condotte su pazienti cerebrolesi, sembrano confermare l'ipotesi in base alla quale le conoscenze astratte sull'aritmetica sono rappresentate indipendentemente dagli altri aspetti del sistema dei numeri e del calcolo, come i fatti aritmetici e le procedure.
Ad esempio un paziente presentava deficit di accesso ai fatti aritmetici mostrando circa il 50% di errori nelle tabelline e in addizioni e sottrazioni di numeri semplici. Egli tuttavia era in grado di risolvere correttamente equazioni astratte di vario tipo.
Un'altro paziente non riusciva ad accendere alla conoscenza della tabellina per risolvere l'operazione 3 per 9 in modo diretto, ma riusciva comunque a produrre la soluzione corretta in tempi più lunghi, utilizzando procedure di calcolo più lunghe che dimostravano la non compromissione di vari tipi di regole, come la regola generale della moltiplicazione, in base alla quale una moltiplicazione equivale alla somma del moltiplicando a se stesso per il numero di volte indicato nel moltiplicatore.